（節(jié)選）
2008年，中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院孫笑濤研究員在代數(shù)幾何研究中取得重要進(jìn)展，首次揭示了向量叢的穩(wěn)定性和弗羅賓尼斯同態(tài)兩者之間的深刻聯(lián)系，該成果具有十分重要的理論意義和價(jià)值。孫笑濤研究員以“弗羅賓尼斯同態(tài)與穩(wěn)定向量叢”為題，在《2008科學(xué)發(fā)展報(bào)告》上撰文對(duì)這一成果作了扼要介紹。
文章介紹到，代數(shù)幾何的主要任務(wù)就是研究代數(shù)簇的幾何，而代數(shù)簇上的向量叢通常能反映該代數(shù)簇的整體幾何。研究半穩(wěn)定和穩(wěn)定向量叢是代數(shù)幾何中一個(gè)非常重要的課題。
數(shù)學(xué)中一個(gè)古老的想法是：特征p域上多項(xiàng)式方程的解可以反映原整系數(shù)多項(xiàng)式方程解的許多性質(zhì)。這一思想可以推廣至代數(shù)幾何，F(xiàn)ields獎(jiǎng)獲得者森重文關(guān)于有理曲線存在性的證明是這一思想最成功的應(yīng)用之一。該證明的關(guān)鍵是利用特征p代數(shù)幾何中所獨(dú)有的也是最基本的同態(tài)——弗羅賓尼斯同態(tài)。然而，弗羅賓尼斯同態(tài)在數(shù)學(xué)中的意義尚未被人們完全了解。因此研究代數(shù)簇上的幾何對(duì)象與弗羅賓尼斯同態(tài)的關(guān)系就格外有意義。孫笑濤的這項(xiàng)工作就是研究向量叢的半穩(wěn)定性和穩(wěn)定性與弗羅賓尼斯同態(tài)下"拉回"和"推出"的關(guān)系。
一個(gè)半穩(wěn)定向量叢在弗羅賓尼斯同態(tài)下"拉回"的反像可能不再是半穩(wěn)定的。對(duì)任意的半穩(wěn)定向量叢，孫笑濤在1999年發(fā)表的一篇論文給出了其在弗羅賓尼斯同態(tài)"拉回"下反像的不穩(wěn)性的一個(gè)精確上界；在這項(xiàng)新的研究中，孫笑濤研究發(fā)現(xiàn)對(duì)于虧格大于1的曲線，弗羅賓尼斯同態(tài)的"推出"保持向量叢的穩(wěn)定性。而且這樣的穩(wěn)定向量叢在弗羅賓尼斯同態(tài)的"拉回"一定不是半穩(wěn)定的。它們同時(shí)也是在弗羅賓尼斯同態(tài)的"拉回"下表現(xiàn)得"最不穩(wěn)定"的穩(wěn)定向量叢。
上述結(jié)果揭示了弗羅賓尼斯同態(tài)與穩(wěn)定向量叢之間的一個(gè)重要聯(lián)系。孫笑濤相信，對(duì)這些穩(wěn)定和半穩(wěn)定向量叢的進(jìn)一步研究將有助于人們對(duì)特征零和特征p兩個(gè)世界之間神秘關(guān)系的了解。（摘自中國(guó)科學(xué)院“科學(xué)發(fā)展報(bào)告”課題組撰寫的《2009科學(xué)發(fā)展報(bào)告》）
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